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[资源分享]     [数据结构]KMP算法(含next数组详解)

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  • 2023-01-25 12:02:26
  • 字符串匹配问题

    给定一个字符串 s 和一个要匹配的模式串 p。模式串 p 有可能在 s 中多次出现,请求出模式串 ps 中所有出现的起始位置。

    暴力匹配算法 BF

    算法思路

    在面对字符串匹配问题时,很容易想到暴力求解。字符串匹配的暴力算法思路很简单,即在 s 中枚举起点 i,对于每个起点匹配字符串 p
    大致步骤为:
    (1) 枚举起点i,定义一个状态值flag = true 以及 k = i,j = 0;
    (2) 如果 s[k] == p[j],就继续k++, j++; 如果 s[k] != p[j],就将flag置flase,并break;
    (3) 对于每个起点 i ,如果flag = true,就输出位置 i 。

    暴力算法代码

    这里输入字符串下标从1开始,与后文相统一。

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    using namespace std;
    
    static const int N = 1000010, M = 100010;
    char s[N], p[M];
    int slen, plen;
    int ne[N];
    
    int main(){
        cin >> plen >> p + 1 >> slen >> s + 1;
        for(int i = 1; i <= slen - plen + 1; i++){
            bool flag = true;
            for(int j = 1, k = i; j <= plen; j++, k++){
                if(s[k] != p[j]){
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
            if(flag) printf("%d ", i);
        }
    }
    


    KMP算法

    KMP算法的含义

    KMP算法是一种改进的字符串匹配算法,是由D.E.Knuth,J.H.Morris和V.R.Pratt提出的,所以简称KMP算法。其算法核心是在匹配失败后利用next数组记录的信息来一定程度上减少匹配次数,以此提高字符串匹配的效率。

    KMP算法涉及的基本概念

    (1)s 为模板字符串;
    (2)p 为模式串,即需要在 s 中匹配的字符串;
    (3)公共前后缀:假定一个字符串的长度为len且下标从1开始,若字符串中范围[1, i]和范围[j, len]完全匹配,则称这两段为此字符串的公共前后缀;
    (4)next 数组:next 数组是KMP算法的核心,next[i] 记录的是模式串 p 中前 i 长度范围内的最长公共前后缀长度,后文会做详解。KMP算法在进行字符串匹配时若出现失配,模式串 p 可以根据 next 数组记录的信息进行等价的后移。
    (5)两大核心步骤:
    1、求解 next 数组
    2、进行字符串匹配
    注意字符串的下标从 1 开始,并且在匹配过程中每次将 s[i]p[i + 1] 进行比较。

    KMP算法的匹配思路

    KMP算法匹配核心图解

    红色虚线所标注的范围内为当前已经匹配的部分,红色空心圆圈为当前比较的两个字符。

    KMP算法匹配举例及图解

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    (5)

    (6)

    (7)

    此时出现了失配,需要将j = next[j]。

    (8)

    容易发现在 p 中前 6 长度的最长公共前后缀长度为2,j = next[6] = 2

    (9)

    相当于模式串 p 整体向右移动了之前的 j - next[j] 的长度再开始匹配。

    (10)

    此时再次出现了失配,需要将 j = next[j]

    (11)

    模式串 p 中前 2 长度的最长公共前后缀长度为0,j = next[2] = 0*。

    (12)

    相当于模式串 p 整体向右移动了之前的 j - next[j] 的长度再开始匹配。

    (13)

    以当前 s[i] 这个字符为起点匹配模式串 p 成功。(前面省略了一些)

    KMP算法匹配核心代码

        //匹配操作
        for(int i = 1, j = 0; i <= n; i++){
            //失配整体移动之后可能依旧失配,故用while
            while(j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
            //当前两个字符匹配
            if(s[i] == p[j + 1]) j++;
            if(j == m)  {     
                printf("%d ", i - m + 1);  //返回匹配起始位置
                j = ne[j];     //可能存在多个位置匹配,继续匹配
            }
        }
    


    next数组详解

    next数组的含义及求解

    next[i] 记录的是模式串 pi 长度范围内最长公共前后缀的长度。例如字符串 ABDAB,可以发现此字符串前 4 长度的最长公共前后缀为 A,那么对于这个字符串,next[4] = 1;同理此字符串前 5 长度的最长公共前后缀为 AB,所以 next[5] = 2

    next 数组的求解和上文中字符串匹配的过程非常相近,相当于是自己与自己进行匹配。将其中一个 p依旧作为模式串,将另一个 p 视作字符串,并将其从下标2开始与模式串 p 进行匹配。

    next数组核心图解

    红色虚线所标注的范围内为当前已经匹配的部分,红色空心圆圈为当前比较的两个字符。

    (1)求解next数组当前字符匹配

    (2)求解next数组当前字符失配

    next数组举例及图解

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    此时出现字符匹配

    (5)

    此时出现字符匹配

    (6)

    此时出现字符匹配

    (7)

    求解next数组完成

    next数组核心代码

        //求next[]数组
        for(int i = 2, j = 0; i <= m; i++){
            //当前字符不匹配
            while(j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
            if(p[i] == p[j + 1]) j++;
            //记录前i长度最长公共前后缀长度j
            ne[i] = j;
        }
    

    字符串下标以及next数组如此定义的原因

    上文中字符串下标都从 1 开始,要实现也不难,C/C++从1开始输入即可,其他语言例如python,先插入一个字符即可。下标从 1 开始主要也是和next数组的定义有关。next数组记录的是模式串 p 中一定范围内的最长公共前后缀的长度,如果下标从0开始,这个KMP算法模板也可以进行,但是需要将next[0]置-1,而且求得的next数组有些违背本身的含义(变成记录的是前i下标最长公共前后缀长度-1)。
    以下是下标从0开始的KMP算法模板:

    int main(){
        cin >> m >> p >> n >> s;
    
        ne[0] = -1;
        for (int i = 1, j = -1; i < m; i ++ ){
            while (j >= 0 && p[j + 1] != p[i]) j = ne[j];
            if (p[j + 1] == p[i]) j ++ ;
            ne[i] = j;
        }
    
        for (int i = 0, j = -1; i < n; i ++ ){
            while (j != -1 && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
            if (s[i] == p[j + 1]) j ++ ;
            if (j == m - 1){
                cout << i - j << ' ';
                j = ne[j];
            }
        }
        //输出next数组
        //cout<<endl<<"next[]: "<<endl;
        //for(int i = 0; i < m; i++) cout<<ne[i]<<' ';
    }
    

    以下是上述下标从0开始模板求得的next数组结果:

    可以看出求得next数组记录的值恰好为前i下标最长公共前后缀长度-1。



    完整程序

    完整程序代码

    #include<iostream>
    using namespace std;
    
    static const int N = 1000010, M = 100010;
    char s[N], p[M];
    int slen, plen;
    int ne[N];
    
    int main(){
        cin >> plen >> p + 1 >> slen >> s + 1;
        
        for(int i = 2, j = 0; i <= plen; i++){
            while(j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
            if(p[i] == p[j + 1]) j++;
            ne[i] = j;
        }
        
        for(int i = 1, j = 0; i <= slen; i++){
            while(j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
            if(s[i] == p[j + 1]) j++;
            if(j == plen){
                cout<<i - plen + 1<<' ';
                j = ne[j];
            }
        }
        //输出next数组
        //cout<<endl<<"next[]: "<<endl;
        //for(int i = 1; i <= plen; i++) cout<<ne[i]<<' ';
    }
    

    程序运行测试



    后记

    网上大部分KMP的写法与我写的这篇随笔中不太相同,next数组的定义也不太一样。我所记录的是我自己认为最好理解的KMP算法的写法,没有任何贬低其他写法的意思喔:stuck_out_tongue_closed_eyes:,也许各有各的好处。

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